Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線的傾斜角為$\frac{π}{6}$，則雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$；該雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出漸近線的斜率，得到雙曲線的漸近線的方程，求出$\frac{a}$的值，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，求出離心率．

解答 解：∵一條漸近線的傾斜角為$\frac{π}{6}$，
∴漸近線的斜率為k=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴雙曲線的漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程和離心率，屬于基礎(chǔ)題．