Question

如圖，已知點(diǎn)，且的內(nèi)切圓方程為.
（1）  求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）  過(guò)橢圓上的點(diǎn)作圓的切線，求切線長(zhǎng)最短時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)和切線長(zhǎng)。

Answer 1

,

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，------------------1分
依題意知直線AB的斜率存在，故設(shè)直線AB：y=k（x+4）        ------------------2分
因圓的圓心為（2，0），半徑，又因?yàn)橹本�AB與圓相切
所以，圓心為（2，0）到直線AB的距離為------------------3分
解得（為直線AC的斜率）
所以直線AB的方程為，------------------4分
又因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)A(-4,0)在x軸上，所以B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
把代入直線AB的方程解得，------------------5分
把A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得m=16，n=1----------6分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.------------------7分
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M，則圓心（2，0）與點(diǎn)M的距離為 -8分
切線長(zhǎng)，，--10分
當(dāng)時(shí)，，                ------------------12分
此時(shí)，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為          ------------------14分
解法二：(Ⅰ)因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)A(-4,0)在x軸上，且的內(nèi)切圓方程為，
所以B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，-----------------1分
如圖，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知∽
∴即，從而------------------3分
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，="1" ，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為--5分
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，=與矛盾----------6分
綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.------------------7分
(Ⅱ) 依題意設(shè)點(diǎn)M，則圓心（2，0）與點(diǎn)M的距離為  ------8分
則切線長(zhǎng)，而，---------10分
當(dāng)時(shí)，，-----12分
此時(shí)，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為 -----14分