Question

20．如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（1）若AD=$\frac{1}{2}$BC，求直線CD與平面PAB所成角的大��；
（2）設(shè)PD=a，且二面角A-PB-C的大小為$\frac{π}{3}$，求AD長．

Answer 1

分析 由已知可得PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
（1）BC=$2\sqrt{2}a$，求出所用點的坐標，得到$\overrightarrow{PA}、\overrightarrow{AB}$的坐標，進一步求出平面PAB的一個法向量，由$\overrightarrow{DC}$與平面法向量所成角的余弦值求得線面角的正弦值，進一步求得直線CD與平面PAB所成角的大�。�
（2）設(shè)AD=t，求出平面PAB、PBC的一個法向量，結(jié)合二面角A-PB-C的大小為$\frac{π}{3}$列式求得AD長．

解答 解：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DA，PD⊥DC，
又AD⊥DC，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
（1）∵AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$BC，設(shè)BC=$2\sqrt{2}a$，
則D（0，0，0），A（$\sqrt{2}a$，0，0），C（0，2a，0），P（0，0，2a），B（$2\sqrt{2}a$，2a，0），
$\overrightarrow{DC}=（0，2a，0）$，
$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}a，0，-2a）$，$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{2}a，2a，0）$．
設(shè)平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}ax-2az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}ax+2ay=0}\end{array}\right.$，取z=1，得x=$\sqrt{2}$，y=-1．
∴$\overrightarrow{m}=（\sqrt{2}，-1，1）$，
設(shè)直線CD與平面PAB所成角的大小為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{DC}$＞|=|$\frac{-2a}{\sqrt{4{a}^{2}}•\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-1）^{2}+{1}^{2}}}$|=$\frac{1}{2}$．
∴$θ=\frac{π}{6}$；
（2）由PD=a，得DC=a，BC=$\sqrt{2}a$，設(shè)AD=t，
則D（0，0，0），A（t，0，0），P（0，0，a），C（0，a，0），B（$\sqrt{2}a$，a，0）．
$\overrightarrow{PA}=（t，0，-a）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}a，a，-a）$，$\overrightarrow{PC}=（0，a，-a）$．
設(shè)平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{PA}=tx-az=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}ax+ay-az=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得z=$\frac{t}{a}$，y=$\frac{t}{a}-\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，\frac{t}{a}-\sqrt{2}，\frac{t}{a}）$；
設(shè)向量PBC的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}ax+ay-az=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{PC}=ay-az=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得y=1，x=0，則$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，1，1）$．
∵二面角A-PB-C的大小為$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}=\frac{\frac{2t}{a}-\sqrt{2}}{\sqrt{1+（\frac{t}{a}-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{t}{a}）^{2}}•\sqrt{2}}$=$-\frac{1}{2}$，解得：t=$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}a$．
∴AD長為$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}a$．

點評 本題考查利用空間向量求解線面角與面面角，考查計算能力，是中檔題．