11.如圖四棱錐S-ABCD,底面四邊形ABCD滿足條件∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2$\sqrt{2}$,AD=2,側(cè)面SAD垂直于底面ABCD,SA=2,
(1)若SB上存在一點E,使得CE∥平面SAD,求$\frac{SE}{SB}$的值;
(2)求此四棱錐體積的最大值;
(3)當(dāng)體積最大時,求二面角A-SC-B大小的余弦值.

分析 (1)過C作AD的平行線CF,交AB于F,過F作SA的平行線FE,交SB于E,則點E就是所求的點,由此能求出結(jié)果.
(2)當(dāng)SA⊥平面ABCD時,此四棱錐體積最大,由此能求出此四棱錐體積的最大值.
(3)當(dāng)體積最大時,SA⊥平面ABCD,連結(jié)AC,取AC的中點O,過O作OK⊥SC,垂足為K,連結(jié)BK,由三垂線定理得BK⊥SC,∠BKO是二面角A-SC-B的平面角,由此能求出當(dāng)體積最大時,二面角A-SC-B的余弦值.

解答 解:(1)過C作AD的平行線CF,交AB于F,
過F作SA的平行線FE,交SB于E,
∵AD∥CF,SA∥FE,AD∩AS=A,CF∩EF=F,
AD,AS?平面ADS,CF,EF?平面CEF,
∴平面ADS∥平面CEF,
∵CE?平面CEF,∴CE∥平面SAD,
∵四棱錐S-ABCD,底面四邊形ABCD滿足條件∠DAB=90°,
∠ADC=135°,AB=5,CD=2$\sqrt{2}$,AD=2,側(cè)面SAD垂直于底面ABCD,SA=2,
∴AF=AD=2,CF=4,BF=5-2=3,
∴$\frac{SE}{SB}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{5}$.
(2)當(dāng)SA⊥平面ABCD時,此四棱錐體積最大,
∵SA=2,AF=AD=2,CF=4,BF=5-2=3,∠DAB=90°,
∴S四邊形ABCD=S梯形AFCD+S△BCF
=$\frac{1}{2}(2+4)×2+\frac{1}{2}×4×3$=12,
∴此四棱錐體積的最大值V=$\frac{1}{3}×{S}_{四邊形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×12×2$=8.
(3)當(dāng)體積最大時,SA⊥平面ABCD,連結(jié)AC,取AC的中點O,
∵BF=3,CF=4,BF⊥CF,∴BC=5,
∴BA=BC=5,∴BO⊥AC,
∵SA⊥平面ABCD,BO?平面ABCD,∴BO⊥SA,
∵SA∩AC=A,∴BO⊥平面SAC,
過O作OK⊥SC,垂足為K,連結(jié)BK,
則由三垂線定理得BK⊥SC,
∴∠BKO是二面角A-SC-B的平面角,
AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,SC=$\sqrt{A{C}^{2}+S{A}^{2}}$=2$\sqrt{6}$,BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∵S△SOC=S△SAC-S△SAO,
∴$\frac{1}{2}×SC×OK=\frac{1}{2}×SA×AC-\frac{1}{2}×SA×AO$,
∴$\sqrt{6}$×OK=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{5}-\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$,∴OK=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$,
∴BK=$\sqrt{O{K}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$,
∴cos∠BKO=$\frac{OK}{BK}$=$\frac{1}{5}$.
∴當(dāng)體積最大時,二面角A-SC-B的余弦值為$\frac{1}{5}$.

點評 本題考查滿足條件的點的位置的確定及求法,考查四棱錐的體積的最大值的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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