Question

3．已知圓O：x²+y²=8內(nèi)有一點P₀（-1，2），AB為過點P₀且傾斜角為α的弦．
（1）當α=135°時，求弦AB的長；
（2）當弦AB被P₀平分時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意直線AB的斜率為-1，直線AB的方程，根據(jù)圓心0（0，0）到直線AB的距離，由弦長公式求得AB的長．
（2）當弦AB被點P₀平分時，AB和OP垂直，故直線AB 的斜率為$\frac{1}{2}$，根據(jù)點斜式方程直線AB的方程．

解答 解：（1）當α=135°時，k_AB=-1，直線AB：y+2=-（x-1），即x+y+1=0
設(shè)AB中點為M，則OM⊥AB，且平分弦AB．
∵$|{OM}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$|{AM}|=\frac{{\sqrt{30}}}{2}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{30}$．
（2）當弦AB被點P平分時，OP⊥AB，而k_OP=-2，
∴${k_{AB}}=\frac{1}{2}$．
∴弦AB所在直線的方程為：x-2y+5=0．

點評 本題考查用點斜式求直線方程，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，求出圓心0（0，0）到直線AB的距離為d，是解題的關(guān)鍵．