Question

1．設銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\frac{2}$是2asinAcosC與csin2A的等差中項．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得：sinB=2sinAsinB，結合sinB≠0．可求sinA=$\frac{1}{2}$．結合A為銳角，可得A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=4（2$+\sqrt{3}$），進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{2}$是2asinAcosC與csin2A的等差中項，
∴由正弦定理可得：b=2sinA（acosC+ccosA），
∴sinB=2sinA（sinAcosC+sinCcosA）
=2sinAsin（A+C）
=2sinAsinB，
∵B∈（0，π），
∴sinB≠0．
∴sinA=$\frac{1}{2}$．
又∵A為銳角，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc≥2bc$-\sqrt{3}bc$，
∴bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=4（2$+\sqrt{3}$），當且僅當b=c=$\sqrt{6}$+2時，取等號．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×4×（2$+\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{3}$．
即△ABC面積的最大值為2$+\sqrt{3}$（當且僅當b=c=$\sqrt{6}$+2時，等號成立）．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．