【題目】設(shè)橢圓的離心率為,以橢圓四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過橢圓E的右焦點(diǎn)作直線與E交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
【答案】(1);(2)面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為:.
【解析】
(1)利用橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積、離心率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),易求得;②當(dāng)直線斜率存在時(shí),假設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用弦長(zhǎng)公式求得,利用點(diǎn)到直線距離公式求出,從而得到,利用函數(shù)求最值的方法可求得的范圍;綜合兩種情況可得最終結(jié)果.
(1)以橢圓四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為,,
即…①,又…②,…③,
則①②③聯(lián)立可求得:,,,
橢圓的方程為:.
(2)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),則方程為,,
;
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),可設(shè)其方程為:,由題意可知:,
由得:,
設(shè),,則,,
,
又原點(diǎn)到直線距離,
,
令,則,
,,,,
,
綜上所述:面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,平面,,,,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪,每輪甲、乙各投籃10次,投籃命中次數(shù)的情況如圖所示(實(shí)線為甲的折線圖,虛線為乙的折線圖),則以下說法錯(cuò)誤的是( )
A. 甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的小
B. 甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比乙的小
C. 甲投籃命中次數(shù)的中位數(shù)比乙的大
D. 甲投籃命中的成績(jī)比乙的穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游區(qū)每年各個(gè)月份接待游客的人數(shù)近似地滿足周期性規(guī)律,因而第個(gè)月從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫,其中正整數(shù)表示月份且,例如表示1月份,和是正整數(shù),,. 統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律:
① 每年相同的月份,該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同;
② 該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人;
③ 2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)為100人,隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.
(1)試根據(jù)已知信息,求的表達(dá)式;
(2)一般地,當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)在400或400以上時(shí),該地區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺季”,那么,一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定函數(shù)和,若存在常數(shù),,使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域的任何實(shí)數(shù)分別滿足和,則稱直線:為函數(shù)和的“隔離直線”,給出下列四組函數(shù):
(1),; (2),;
(3),; (4),;
其中函數(shù)和存在“隔離直線”的序號(hào)是( )
A.(1)(3)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式,在國(guó)內(nèi)得到迅速推廣.最近,某機(jī)構(gòu)在某地區(qū)隨機(jī)采訪了10名男士和10名女士,結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”,其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.
(1)從這些男士和女士中各抽取一人,求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率;
(2)從這些男士中抽取一人,女士中抽取兩人,記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某大學(xué)學(xué)生的某天上網(wǎng)的時(shí)間,隨機(jī)對(duì)名男生和名女生進(jìn)行了不記名的問卷調(diào)查.得到了如下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果:
表1:男生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時(shí)間(分鐘) | |||||
人數(shù) |
表2:女生上網(wǎng)時(shí)間與頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時(shí)間(分鐘) | |||||
人數(shù) |
(1)用分層抽樣在選取人,再隨機(jī)抽取人,求抽取的人都是女生的概率;
(2)完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“大學(xué)生上網(wǎng)時(shí)間與性別有關(guān)”?
上網(wǎng)時(shí)間少于分鐘 | 上網(wǎng)時(shí)間不少于分鐘 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M:與軸相切.
(1)求的值;
(2)求圓M在軸上截得的弦長(zhǎng);
(3)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線與圓M相切,為切點(diǎn),求四邊形面積的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】試題分析:(1)先將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,利用直線和圓相切進(jìn)行求解;(2) 令,得到關(guān)于的一元二次方程進(jìn)行求解;(3)將四邊形的面積的最小值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的的距離進(jìn)行求解.
試題解析:(1) ∵圓M:與軸相切
∴ ∴
(2) 令,則 ∴
∴
(3)
∵的最小值等于點(diǎn)到直線的距離,
∴ ∴
∴四邊形面積的最小值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,且圓與軸交于, 兩點(diǎn),設(shè)直線的方程為.
(1)當(dāng)直線與圓相切時(shí),求直線的方程;
(2)已知直線與圓相交于, 兩點(diǎn).
(ⅰ)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)直線與直線相交于點(diǎn),直線,直線,直線的斜率分別為, , ,
是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是衡量空氣污染程度的一個(gè)指標(biāo),為了了解市空氣質(zhì)量情況,從年每天的值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示.將值劃分成區(qū)間、、、,分別稱為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)和四級(jí),統(tǒng)計(jì)時(shí)用頻率估計(jì)概率 .
(1)根據(jù)年的數(shù)據(jù)估計(jì)該市在年中空氣質(zhì)量為一級(jí)的天數(shù);
(2)按照分層抽樣的方法,從樣本二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)中抽取天的數(shù)據(jù),再?gòu)倪@個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè),求僅有二級(jí)天氣的概率.
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