Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{3}+{x^2}-3x-\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）用反證法證明：在[-1，1]上，不存在不同的兩點(diǎn)（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），使得f（x）的圖象在這兩點(diǎn)處的切線相互平行．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)反證法得（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）=0，推出矛盾，證明結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令f'（x）≥0，解得x≤-3或x≥1，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3]，[1，+∞）．
（Ⅱ）假設(shè)存在不同的兩點(diǎn)滿足題意，則${x_1}^2+2{x_1}-3={x_2}^2+2{x_2}-3$，
化簡得（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）=0．
因?yàn)閤₁≠x₂，所以x₁+x₂+2=0，
又x₁，x₂∈[-1，1]，所以x₁+x₂+2=0，只需x₁=x₂=-1，這顯然與x₁≠x₂相矛盾．
所以假設(shè)不成立，滿足題意的兩點(diǎn)是不存在的．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及反證法的應(yīng)用，是一道中檔題．