Question

7．設(shè)f（x）=x³+mlog₂（x+$\sqrt{{x^2}+1}$）（m∈R，m＞0），則不等式f（m）+f（m²-2）≥0的解是m≥1．（注：填寫m的取值范圍）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析f（x）可得其是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，進(jìn)而將不等式f（m）+f（m²-2）≥0轉(zhuǎn)化為f（m）≥f（2-m²），由單調(diào)性，可得其等價(jià)于m≥2-m²，解可得答案．

解答 解：因?yàn)閒（-x）=-x³+log₂（-x+$\sqrt{{x^2}+1}$）=-x³-log₂（x+$\sqrt{{x^2}+1}$），
所以函數(shù)f（x）=x³+mlog₂（x+$\sqrt{{x^2}+1}$）（m∈R，m＞0）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，
所以f（m）+f（m²-2）≥0?f（m²-2）≥-f（m）?f（m²-2）≥f（-m）?m²-2≥-m?m≥1或m≤-2
因?yàn)閙∈R，m＞0，所以m≥1．
故答案為：m≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用，其中將不等式的恒成立與奇偶性、單調(diào)性結(jié)合，解題時(shí)，注意先分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化不等式，進(jìn)而求解．