Question

【題目】正三棱柱ABC﹣A1B1C1底邊長為2，E，F(xiàn)分別為BB1 ， AB的中點(diǎn)． （I）已知M為線段B1A1上的點(diǎn)，且B1A1=4B1M，求證：EM∥面A1FC；
（II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值為 ，求AA1的值．

Answer 1

【答案】證明：（I）取B1A1中點(diǎn)為N，連結(jié)BN， 則BN∥A1F，又B1A1=4B1M，
則EM∥BN，所以EM∥A1F，
因?yàn)镋M面A1FC，A1F面A1FC，
故EM∥面A1FC．
解：（II）如圖，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AA1=a．
則 ，
，
設(shè)平面A1CF法向量為 ，
設(shè)平面A1EF法向量為 ．
則 ，取z=1，得 ，
，取x=1，得 ；
設(shè)二面角E﹣A1C﹣F的平面角為θ，
∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值為 ，
∴ ，
設(shè)a2=t，則9t2+10t﹣111=0，得t=3，
即a2=3，∴ ．
【解析】（I）取B1A1中點(diǎn)為N，連結(jié)BN，推導(dǎo)出BN∥A1F，從而EM∥BN，進(jìn)而EM∥A1F，由此能證明EM∥面A1FC．（II）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a，利用向量法能求出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．