Question

已知函數f（x）=

ax2+1

bx+c

，（a，b，c∈Z）是奇函數，又f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）證明：當x＞1時f（x）為增函數．

2

2

＜x＜1，f（x）為減函數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）運用奇函數定義，和函數式子求解．
（2）運用單調性的定義證明．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

ax2+1

bx+c

，（a，b，c∈Z）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
等式

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

恒成立，即c=0，
又f（1）=2，f（2）＜3．即a+1=2b且

4a+1

2b

＜3
解得：0＜b＜

3

2

又a，b，c∈Z，所以a=1，b=1，c=0，
f（x）=x+

1

x

．
（2）設x₁＞x₂＞1，f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

）
∵x₁＞x₂＞1，∴x₁-x₂＞0，

x1x2-1

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
可判斷：當x＞1時f（x）為增函數．
設

2

2

＜x₁＜x₂＜1時f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

）
∵

2

2

＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜0，

x1x2-1

x1x2

＜0
即f（x₁）＞f（x₂）
可判斷：當時

2

2

＜x＜1，f（x）為減函數．

點評：本題考察了函數奇偶性，單調性定義的運用．