Question

18．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，A在平面BCD內(nèi)的投影恰為BD的中點，CD⊥BD，AD⊥AB，延長DA至P，使DA=AP．
（1）求證：PB⊥平面BCD；
（2）若$BD=CD=\sqrt{2}$，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由題設知△ABD是等腰直角三角形，且平面ABD⊥平面BCD，又由DA=AP，得△PAB≌△DAB，可得∠PBD=90°，由面面垂直的性質可得PB⊥平面BCD；
（2）取BD的中點O，解直角三角形可得$AO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$PB=\sqrt{2}$，再由V_P-ABC=V_P-BCD-V_A-BCD求得三棱錐P-ABC的體積．

解答 （1）證明：由題設知△ABD是等腰直角三角形，且平面ABD⊥平面BCD，
又由DA=AP，得△PAB≌△DAB，
∴∠PBD=90°，又平面PBD⊥平面BCD，
∴PB⊥平面BCD；
（2）解：取BD的中點O，則$AO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$PB=\sqrt{2}$，
∴${V_{P-ABC}}={V_{P-BCD}}-{V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}•{S_{△BCD}}•（PB-AO）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

點評 本題考查平面與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了等積法求多面體的體積，屬中檔題．