Question

19．已知f（x）是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足3f（x+1）-f（x）=2x+9，g（x）是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足g（x）=0，g（x+1）=g（x）+x+1，則：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）的解析式；
（3）畫(huà)出h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥-2}\\{g（x），x＜-2}\end{array}\right.$的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出h（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）分別利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（3）結(jié)合（1），（2）可得h（x）的解析式，畫(huà)出圖形，得到最小值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是一次函數(shù)，
所以設(shè)f（x）=kx+b，k≠0，
∴f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b，
3f（x+1）-f（x）=3（kx+k+b）-（kx+b）=2kx+3k+2b
因?yàn)閷?duì)任意x，有3f（x+1）-f（x）=2x+9，
所以對(duì)任意x，有2kx+3k+2b=2x+9
因此必有$\left\{\begin{array}{l}2k=2\\ 3k+2b=9\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=3\end{array}\right.$
∴f（x）的解析式為：f（x）=x+3．
（2）∵g（x）是二次函數(shù)，
所以設(shè)g（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
$\begin{array}{l}∴g（{x+1}）=a{（{x+1}）^2}+b（{x+1}）+c\\=a{x^2}+（{2a+b}）x+a+b+c\end{array}$
$\begin{array}{l}g（x）+x+1=a{x^2}+bx+c+x+1\\=a{x^2}+（{b+1}）x+c+1\end{array}$
∵對(duì)任意x，有g(shù)（x+1）=g（x）+x+1，
∴對(duì)任意x，有ax²+（2a+b）x+a+b+c=ax²+（b+1）x+c+1
因此必有$\left\{\begin{array}{l}2a+b=b+1\\ a+b+c=c+1\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴$g（x）的解析式為：g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x$．
（3）結(jié)合（1），（2）可得$h（x）=\left\{\begin{array}{l}x+3，x≥-2\\ \frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x，x＜-2\end{array}\right.$，圖象如圖，h（x）的最小值為h（-2）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及由函數(shù)圖象得到函數(shù)的最值．屬于常規(guī)題．