Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞1}\\{{x}^{2}-3，x≤1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{a}{x}$恰有兩個不同解，則實數(shù)a的取值范圍為[-2，0]∪{2}．

Answer 1

分析 分類討論，利用關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{a}{x}$恰有兩個不同解，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意，a＞0，x＞1時，lnx=$\frac{a}{x}$有一個解；
x≤1時，x²-3=$\frac{a}{x}$只有一個解，即a=x³-3x只有一個解，
令y=x³-3x，則y′=3（x+1）（x-1），
∴x＜-1時，y′＞0，-1＜x＜1時，y′＜0，
x=-1時，y=2，x=1時，y=-2，此時a=2滿足題意；
同理，-2≤a≤0滿足題意，
故答案為[-2，0]∪{2}．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．