Question

2．已知函數f（x）=ln（x-2）-$\frac{{x}^{2}}{2a}$，（a為常數且a≠0），若f（x）在x₀處取得極值，且x₀∉[e+2，e²+2]，而f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，則a的取值范圍（　�。�

• A． a≥e⁴+2e²
• B． a＞e²+2e
• C． a≥e²+2e
• D． a＞e⁴+2e²

Answer 1

分析 求出原函數的導函數，求得極值點，確定函數的單調性，要使f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，得到關于a的不等式組，求解不等式組可得a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=ln（x-2）-$\frac{{x}^{2}}{2a}$，得f′（x）=$\frac{1}{x-2}-\frac{x}{a}$（x＞2），令f′（x）=0，可得x₀=1±$\sqrt{a+1}$，
∵f（x）在x₀處取得極值，∴1+$\sqrt{a+1}$＞2，即a＞0．
∴函數在（2，1+$\sqrt{a+1}$）上單調增，在（1+$\sqrt{a+1}$，+∞）上單調減，
又x₀∉[e+2，e²+2]，
∴函數在區(qū)間[e+2，e²+2]上是單調函數
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+\sqrt{a+1}＞{e}^{2}+2}\\{f（e+2）≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{e+2＞1+\sqrt{a+1}}\\{f（{e}^{2}+2）≥0}\end{array}\right.$，
解得a＞e⁴+2e² ．
∴a的取值范圍是a＞e⁴+2e² ．
故選：D．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，屬于中檔題．