Question

12．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x．
（1）用定義法證明：函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)；
（2）若x∈[-1，2]，求函數(shù)g（x）=2^x[f（x）-2]-3的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）已知f（x）得到g（x）=（2^x-1）²-3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域即可．

解答 （1）證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，則：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-（{2^{x_2}}+{2^{-{x_2}}}）$
=$（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（1-\frac{1}{{{2^{x_1}}{2^{x_2}}}}）$
=$\frac{{（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（{2^{{x_1}+{x_2}}}-1）}}{{{2^{{x_1}+{x_2}}}}}$，
∵x₂＞x₁＞0，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，${2^{{x_1}+{x_2}}}-1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)．
（2）∵x∈[-1，2]，∴${2^x}∈[{\frac{1}{2}，4}]$，g（x）=2^x[f（x）-2]-3=（2^x）²-2•2^x-2=（2^x-1）²-3，
當(dāng)2^x=1時(shí)，g（x）_min=-3；當(dāng)2^x=4時(shí)，g（x）_max=6．
∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-3，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的定義證明，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值域，屬中等題．