Question

19．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=e^x-1．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））與點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線相互垂直，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）與g（x）的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）設(shè)數(shù)列${b_n}={e^{\frac{1}{n}}}（{n∈N{^*}}）$，其前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＞ln（n+1）+n-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切點(diǎn)處的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a的值；
（2）由題意可得討論h（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由h（0）=0，則必有一個(gè)零點(diǎn)為0；討論x＞0，①若0＜a≤1，②若a＞1，當(dāng)x＜0，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，可得單調(diào)性，可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）由（2）可得e^x＞1+ln（x+1），所以${e^{\frac{1}{n}}}＞1+ln（{1+\frac{1}{n}}）=1+ln（{n+1}）-lnn$，再令n=1，2，…，由累加法和化簡(jiǎn)整理即可得證．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x^3}-ax，x＜0}\end{array}}\right.$，
∴$f'（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a}{x+1}，x≥0}\\{{x^2}-a，x＜0}\end{array}}\right.$，
∴f′（1）=$\frac{a}{2}$，f′（-1）=1-a，
由兩直線垂直的條件可得$\frac{a}{2}×（{1-a}）=-1$，
解得a=-1或2；
（2）即討論h（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
由h（0）=0，則必有一個(gè)零點(diǎn)為0；
情況一：當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=g（x）-f（x）=e^x-aln（x+1）-1，則h′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$．
①若0＜a≤1，則$\frac{a}{x+1}$＜1＜e^x，即h′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$＞0，
函數(shù)h（x）在（0，+∞）上遞增，h（x）在（0，+∞）無(wú)零點(diǎn)；
②若a＞1，因?yàn)閔′（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$在（0，+∞）上遞增，
且h'（0）=1-a＜0，x→+∞，h'（x）→+∞，
所以存在x₀∈（0，+∞）使得h'（x₀）=0．
所以h（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增，
且x→+∞，h（x）→+∞，結(jié)合圖形可知函數(shù)h（x）在（0，x₀]上無(wú)零點(diǎn)，
在（x₀，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)．即h（x）在（0，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)．
情況二：當(dāng)x＜0時(shí)，令$h（x）=g（x）-f（x）={e^x}-\frac{1}{3}{x^3}+ax-1$，
則h'（x）=e^x-x²+a，又h''（x）=e^x-2x＞0，
所以h'（x）=e^x-x²+a在（-∞，0）上遞增，
又h'（0）=1+a＞0，且x→-∞，h'（x）→-∞，
所以存在x₀∈（-∞，0）使得h'（x₀）=0．
所以h（x）在（-∞，x₀）上遞減，在（x₀，0）上遞增，
且$x→-∞，h（x）=（{{e^x}-1}）-\frac{1}{3}x（{{x^2}-3a}）→+∞$，
結(jié)合圖形可知函數(shù)h（x）在（-∞，x₀）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[x₀，0）無(wú)零點(diǎn)．
即h（x）在（-∞，0）有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所示：0＜a≤1時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；a＞1時(shí)，有三個(gè)公共點(diǎn)；
（3）證明：由（2）可知，a=1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＞0恒成立，
即e^x＞1+ln（x+1），
所以${e^{\frac{1}{n}}}＞1+ln（{1+\frac{1}{n}}）=1+ln（{n+1}）-lnn$，
即${e^{\frac{1}{1}}}＞1+（{ln2-ln1}）$，${e^{\frac{1}{2}}}＞1+（{ln3-ln2}）$，${e^{\frac{1}{3}}}＞1+（{ln4-ln3}）$，…，
${e^{\frac{1}{n-1}}}＞1+lnn-ln（{n-1}）$，${e^{\frac{1}{n}}}＞1+ln（{n+1}）-lnn$，
所以e¹+e${\;}^{\frac{1}{2}}$+…+e${\;}^{\frac{1}{n}}$＞n+ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn
=n+ln（n+1）-ln1=n+ln（n+1）＞ln（n+1）+n-1，
即S_n＞ln（n+1）+n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法，函數(shù)的單調(diào)性和圖象結(jié)合，考查不等式的證明，注意運(yùn)用已知結(jié)論和累加法，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．