Question

18．直角坐標(biāo)系xOy的原點和極坐標(biāo)系OX的極點重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同．在直角坐標(biāo)系下，曲線C的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}x=2mcosϕ\\ y=nsinϕ\end{array}\right.$（m，n為常數(shù)，φ為參數(shù)）．
（1）當(dāng)m=n=1時，在極坐標(biāo)系下，此時曲線C與射線$θ=\frac{π}{4}$和射線$θ=-\frac{π}{4}$分別交于A，B兩點，求△AOB的面積；
（2）當(dāng)m=1，n=2時，又在直角坐標(biāo)系下，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t-\sqrt{3}\\ y=\sqrt{3}t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求此時曲線C與直線l的交點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先消去參數(shù)方程中的參數(shù)得普通方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換將直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程，通過極坐標(biāo)方程求出三角形的邊長后求面積即可．
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得t的值，再代入l的參數(shù)方程，得曲線C與直線l的交點坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)m=n=1時，曲線C在直角坐標(biāo)系下的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
將其化為極坐標(biāo)方程為$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}θ}}{1}=1$，…（2分）
分別代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，得${|{OA}|^2}={|{OB}|^2}=\frac{8}{5}$，
因為$∠AOB=\frac{π}{2}$，故△AOB的面積$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|=\frac{4}{5}$…（5分）
（2）當(dāng)m=1，n=2時，曲線C的普通方程x²+y²=4，將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得4t²=0，即t=0，代入l的參數(shù)方程，得x=-$\sqrt{3}$，y=1，所以曲線C與直線l的交點坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1）…（10分）

點評 本題考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程，對參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的靈活轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．