Question

9．已知$f（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}$的兩個極值點為α，β，記A（α，f（α）），B（β，f（β））
（Ⅰ）若函數f（x）的零點為γ，證明：α+β=2γ．
（Ⅱ） 設點$C（{\frac{t}{4}-m，0}），D（{\frac{t}{4}+m，0}）$，是否存在實數t，對任意m＞0，四邊形ACBD均為平行四邊形．若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據二次函數的性質證明即可；
（Ⅱ）求出f（α）+f（β）的解析式，根據二次函數的性質以及ACBD均為平行四邊形，求出t的值即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：$f'（x）=\frac{{4（{x^2}+1）-（4x-t）2x}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{-4{x^2}+2tx+4}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=0$，
即-4x²+2tx+4=0，△=4t²+64＞0，
∴$α+β=\frac{t}{2}，α•β=-1$，$f（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}=0$，即4x-t=0，則零點$γ=\frac{t}{4}$，
∴$α+β=2γ=\frac{t}{2}$得證．
（Ⅱ） 要使$A，C（{\frac{t}{4}-m，0}），B，D（{\frac{t}{4}+m，0}）$構成平行四邊形，
由$α+β=\frac{t}{2}=（{\frac{t}{4}-m}）+（{\frac{t}{4}+m}）$得，只需f（α）+f（β）=0，
∴$f（α）+f（β）=\frac{4α-t}{{{α^2}+1}}+\frac{4β-t}{{{β^2}+1}}=\frac{{4α{β^2}+4α-t{β^2}-t+4{α^2}β+4β-t{α^2}-t}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}$
=$\frac{{4αβ（α+β）+4（α+β）-t（{β^2}+{α^2}）-2t}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}$=$\frac{{-2t+2t-t[{{（β+α）}^2}-2αβ]-2t}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}$
=$\frac{{-2t-t[\frac{t^2}{4}+2]}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}=\frac{{-4t-\frac{t^3}{4}}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}=\frac{{-t（4+\frac{t^2}{4}）}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}=0$，
所以t=0．

點評 本題考查了導數的應用，考查二次函數的性質以及不等式的證明，是一道綜合題．