Question

13．如圖，點P等可能分布在菱形ABCD內(nèi)，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 求得$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長度小于$\frac{1}{4}$AC，利用面積為測度，即可求出概率．

解答 解：設$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ，
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$，
∴4|$\overrightarrow{AP}$|cosθ≤|$\overrightarrow{AC}$|，
∴$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長度小于$\frac{1}{4}$AC，∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長度等于$\frac{1}{4}$AC時，三角形的面積為菱形ABCD的$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$的概率是$\frac{1}{8}$．
故選：D．

點評 本題考查幾何概型計算公式及其應用等知識，確定$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影長度小于$\frac{1}{4}$AC是關(guān)鍵．