Question

6．面積為S的三角形的第i條邊的邊長記為a_i（i=1，2，3），P是該三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，P點(diǎn)到第i條邊的距離記為h₁，若$\frac{{a}_{1}}{1}=\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{{a}_{3}}{3}$=k，則h${\;}_{1}+2{h}_{2}+3{h}_{3}=\frac{2S}{k}$．
（1）類比上述結(jié)論，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為S_i（i=1，2，3，4），Q是該三棱錐內(nèi)的任意一點(diǎn)，Q點(diǎn)到第i個(gè)面的距離記為H_i寫出相應(yīng)的正確命題．
（2）請(qǐng)證明第（1）問的正確命題．

Answer 1

分析 （1）類比得出若$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{2}}{2}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$=$\frac{{S}_{4}}{4}$=k，則h₁+2h₂+3h₃+4h₄=$\frac{3V}{k}$；
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式V=$\frac{1}{3}$Sh，利用分割求體積的方法，即可證得結(jié)論成立．

解答 解：（1）面積為S的三角形中，邊長為a_i（i=1，2，3），
P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，P點(diǎn)到第i條邊的距離記為h₁，
若$\frac{{a}_{1}}{1}=\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{{a}_{3}}{3}$=k，則h${\;}_{1}+2{h}_{2}+3{h}_{3}=\frac{2S}{k}$；
類比上述結(jié)論，得出：
體積為V的三棱錐中，每個(gè)面的面積記為S_i（i=1，2，3，4），
Q是三棱錐內(nèi)的任意一點(diǎn)，Q點(diǎn)到第i個(gè)面的距離記為H_i，
若$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{2}}{2}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$=$\frac{{S}_{4}}{4}$=k，
則h₁+2h₂+3h₃+4h₄=$\frac{3V}{k}$；
（2）證明：根據(jù)三棱錐的體積公式V=$\frac{1}{3}$Sh，得：
$\frac{1}{3}$S₁h₁+$\frac{1}{3}$S₂h₂+$\frac{1}{3}$S₃h₃+$\frac{1}{3}$S₄h₄=V，
即S₁h₁+S₂h₂+S₃h₃+S₄h₄=3V，
因?yàn)?\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{2}}{2}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$=$\frac{{S}_{4}}{4}$=k，
∴kh₁+2kh₂+3kh₃+4kh₄=3V，
∴h₁+2h₂+3h₃+4h₄=$\frac{3V}{k}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三棱錐的體積計(jì)算和運(yùn)用類比思想進(jìn)行推理的能力，解題的關(guān)鍵是理解類比推理的意義，掌握類比推理的方法．