Question

4．若等式$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\frac{3m+1}{4}$能夠成立，則m的取值范圍是[-3，$\frac{7}{3}$]．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡$\sqrt{3}$sinα+cosα，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性得出關(guān)于m的不等式組，求出解集即可．

解答 解：$\sqrt{3}$sinα+cosα=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）
=2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3m+1}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3m+1}{8}$，
由題意，-1≤$\frac{3m+1}{8}$≤1，
∴-8≤3m+1≤8，
∴-9≤3m≤7，
解得-3≤m≤$\frac{7}{3}$，
∴m的取值范圍是[-3，$\frac{7}{3}$]．
故答案為：[-3，$\frac{7}{3}$]．

點評 本題考查了三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性和不等式的解法問題，是基礎(chǔ)題．