Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（mn＞0），
給出下列四個命題：
①當b=0時，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上某點成中心對稱；
③存在實數(shù)p和q，使得p≤f（x）≤q對于任意的實數(shù)x恒成立；
④關(guān)于x的方程g（x）=0的解集可能為{-4，-2，0，3}．
則是真命題的有①②③．

Answer 1

分析 ①，b=0時，f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$，f（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是奇函數(shù)h（x）=$\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到；
③，將f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），轉(zhuǎn)化為y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有實數(shù)解，由△≥0即可判斷；
④，關(guān)于x的方程g（x）=0的解集?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上某點成中心對稱，故解集不可能是{-4，-2，0，3}；

解答 解：對于①，b=0時，f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$，f（-x）=-$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$=-f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故正確；
對于②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是奇函數(shù)h（x）=$\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到，故正確；
對于③，∵f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），
∴y（x-b）²-a（x-b）+cy=0有實數(shù)解，
∴△=a²-4cy²≥0，又a≠0，c＞0
∴y²≤$\frac{{a}^{2}}{4c}$，
∴-$\frac{|a|}{2\sqrt{c}}$≤y≤$\frac{|a|}{2\sqrt{c}}$．即存在實數(shù)p和q，使得p≤f（x）≤q對于任意的實數(shù)x恒成立，故正確；
對于④，關(guān)于x的方程g（x）=0的解?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上某點成中心對稱，故解集不可能是{-4，-2，0，3}，故錯；
故答案為：①②③．

點評 本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于中檔題．