Question

11．已知直線l₁：y=2x，l₂：y=-2x，過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線l分別與直線l₁，l₂交于A，B，其中點(diǎn)A在第三象限，點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)N（1，0）；
（1）若△NAB的面積為16，求直線l的方程；
（2）直線AN交l₂于點(diǎn)P，直線BN交l₁于點(diǎn)Q，若直線l、PQ的斜率均存在，分別設(shè)為k₁，k₂，判斷$\frac{k_1}{k_2}$是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線方程為y=k（x+2），與直線l₁：y=2x，l₂：y=-2x，分別聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，再由△NAB的面積為$\frac{1}{2}$|MN|•（y_B-y_A）=16，解方程可得k，進(jìn)而得到所求直線方程；
（2）求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)P（a，-2a），Q（b，2b），運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，求得a，b，再由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算即可得到所求定值．

解答 解：（1）設(shè)直線方程為y=k（x+2），
與直線l₁：y=2x，l₂：y=-2x，分別聯(lián)立，
可得A，B的縱坐標(biāo)分別為$\frac{4k}{2-k}$，$\frac{4k}{k+2}$，
∵△NAB的面積為16，
∴$\frac{1}{2}$|MN|•（y_B-y_A）=16，
即$\frac{1}{2}×3×$（$\frac{4k}{k+2}$-$\frac{4k}{2-k}$）=16，
解得k=±4，
∴直線l的方程為4x±y+8=0；
（2）由（1）可得A（$\frac{2{k}_{1}}{2-{k}_{1}}$，$\frac{4{k}_{1}}{2-{k}_{1}}$），B（-$\frac{2{k}_{1}}{2+{k}_{1}}$，$\frac{4{k}_{1}}{2+{k}_{1}}$），
又N（1，0），設(shè)P（a，-2a），Q（b，2b），
由A，N，P共線，可得
$\frac{2a}{1-a}$=$\frac{4{k}_{1}}{3{k}_{1}-2}$，解得a=$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}$，
即有P（$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}$，-$\frac{4{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}$），
由B，N，Q共線，可得
$\frac{2b}{b-1}$=$\frac{4{k}_{1}}{-3{k}_{1}-2}$，解得b=$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}$，
即有Q（$\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}$，$\frac{4{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}$），
則k₂=$\frac{\frac{4{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}-\frac{-4{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}}{\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}+2}-\frac{2{k}_{1}}{5{k}_{1}-2}}$=-5k₁，
即有$\frac{k_1}{k_2}$為定值-$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查直線交點(diǎn)問(wèn)題注意聯(lián)立方程，考查三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，以及斜率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．