Question

1．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D=DC=4，AD=2，E為D₁C的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐D₁-ADE的體積．
（2）AC邊上是否存在一點(diǎn)M，使得D₁A∥平面MDE？若存在，求出AM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式V${\;}_{{D}_{1}-ADE}$=V${\;}_{A-{D}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{D}_{!}DE}$•AD計(jì)算體積；
（2）取AC中點(diǎn)M，連接EM，DM，則可證明D₁A∥平面MDE，從而得出AC的中點(diǎn)為所點(diǎn)．

解答 解：（1）∵AD⊥平面D₁CD，
∴AD是三棱錐A-D₁DE的高．
∵E為D₁C的中點(diǎn)，且D₁D=DC=4，
∴${S_{△{D_1}DE}}=4$，
又AD=2，
∴${V_{{D_1}-ADE}}={V_{A-DE{D_1}}}=\frac{8}{3}$．
（2）取AC中點(diǎn)M，連接EM，DM，
因?yàn)镋為D₁C的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，
∴EM∥D₁A．
又∵EM?平面MDE，D₁A?平面MDE，
∴D₁A∥平面MDE．∴$AM=\sqrt{5}$．
即在AC邊上存在一點(diǎn)M，使得D₁A∥平面MDE，此時(shí)M是AC的中點(diǎn)$AM=\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的體積計(jì)算，線面平行的判定定理，屬于中檔題．