Question

10．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA=$\frac{1}{3}$，c=3b，且△ABC面積S_△ABC=$\sqrt{2}$．
（1）求邊b．c；
（2）求邊a并判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，利用三角形面積公式可求bc的值，又c=3b，即可解得b，c的值．
（2）由余弦定理可求a的值，由勾股定理即可得解△ABC為直角三角形．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）∵cos A=$\frac{1}{3}$，
∴sin A=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．--------------（2分）
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\sqrt{2}$，
∴bc=3．----------------（4分）
又c=3b，
∴b=1，c=3．-----------------------------------------（6分）
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，-----（8分）
得：a²=1+9-2×$3×\frac{1}{3}$=8，
故a=2$\sqrt{2}$．-----（10分）
由c²=a²+b²知△ABC為直角三角形．-----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．