Question

2．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點(diǎn)（0，-b），（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為$\sqrt{2}$，M（x₀，y₀）是橢圓上任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=2作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若記直線OP，OQ的斜率分別為k₁，k₂，試求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式可知a²=2b²，利用點(diǎn)到直線的距離公式$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，可知k₁，k₂是方程k²（2-x₀²）+2kx₀y₀+2-y₀²=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理即可求得k₁k₂，由R（x₀，y₀）在橢圓C上，y₀²=3-$\frac{1}{2}$x₀²，代入即可求得k₁k₂的值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即a²=2b²，①
設(shè)過點(diǎn)（0，-b），（a，0）的直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1$，
即bx-ay-ab=0，
因?yàn)橹本�與原點(diǎn)的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{2}$，整理得：$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=2，②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=6}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓M相切，
由直線和圓相切的條件：d=r，可得$\frac{丨{{k}_{1}x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{丨{k}_{2}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
平方整理，可得k₁²（2-x₀²）+2k₁x₀y₀+2-y₀²=0，
k₂²（2-x₀²）+2k₂x₀y₀+2-y₀²=0，
∴k₁，k₂是方程k²（2-x₀²）+2kx₀y₀+2-y₀²=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
k₁k₂=$\frac{2-{y}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$，
由點(diǎn)R（x₀，y₀）在橢圓C上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，即y₀²=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}$）=3-$\frac{1}{2}$x₀²，
∴k₁k₂=$\frac{2-3+\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
k₁k₂的值為-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，考查韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．