Question

2．已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx．
（1）當(dāng)$x∈（\frac{π}{4}，π）$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在$x∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，使得f（x）＞kx²+cosx成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論x的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$k＜\frac{sinx}{x}$．令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，則$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（ 1）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，…（2分）
∴$x∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$時(shí)，f'（x）=xcosx＞0，
∴函數(shù)f（x）在$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$上是增函數(shù)；
$x∈（{\frac{π}{2}，π}）$時(shí)，f'（x）=xcosx＜0，
∴函數(shù)f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上是減函數(shù)；  …（5分）
（ 2）由題意等價(jià)于xsinx+cosx＞kx²+cosx，整理得$k＜\frac{sinx}{x}$．
令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，則$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}$，
令g（x）=xcosx-sinx，g'（x）=-xsinx＜0，
∴g（x）在$x∈（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，
∴$g（x）＜g（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{π}{4}-1）＜0$，即g（x）=xcosx-sinx＜0，…（10分）
∴$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}＜0$，即$h（x）=\frac{sinx}{x}$在$（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，
∴$h（x）＜\frac{{sin\frac{π}{4}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$，即$k＜\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$．           …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．