Question

5．如圖，在△ABC中，∠C為直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位線DE，將平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱錐A-BCDE．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求三棱錐E-ABC的體積；
（Ⅲ）M是棱CD的中點，過M作平面α與平面ABC平行，設(shè)平面α截四棱錐A-BCDE所得截面面積為S，試求S的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同時DE⊥DC，又AD∩DC=D，可得DE⊥平面ACD，又DE∥BC，可證得BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）由BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，得AD⊥BC，又∠ADC=90°，可得AD⊥DC，又BC∩DC=C，可證得AD⊥平面BCDE，利用等積法即可求出三棱錐E-ABC的體積；
（Ⅲ）分別取AD，EA，AB的中點N，P，Q，并連接MN，NP，PQ，QM，由平面α∥平面ACD，得平面α與平面ACD的交線平行于AC，由M是中點，可得平面α與平面ACD的交線是△ACD的中位線MN，同理可證，四邊形MNPQ是平面α截四棱錐A-BCDE的截面，即S=S_MNPQ，由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，可得BC⊥AC，又QM∥AC，MN∥BC，可得QM⊥MN，即可得到四邊形MNPQ是直角梯形，在Rt△ADC中，AD=CD，求出AC，進一步求出MN，NP，MQ，則S的值可求．

解答 （Ⅰ）證明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同時DE⊥DC，
又AD∩DC=D，
∴DE⊥平面ACD．
又∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，
∴AD⊥BC．
又∵∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．
又∵BC∩DC=C，
∴AD⊥平面BCDE．
∴${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC•CD•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2=\frac{8}{3}$；
（Ⅲ）解：分別取AD，EA，AB的中點N，P，Q，并連接MN，NP，PQ，QM，
∵平面α∥平面ACD，∴平面α與平面ACD的交線平行于AC，
∵M是中點，∴平面α與平面ACD的交線是△ACD的中位線MN，
同理可證，四邊形MNPQ是平面α截四棱錐A-BCDE的截面，即S=S_MNPQ．
由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，
又∵QM∥AC，MN∥BC，∴QM⊥MN．
∴四邊形MNPQ是直角梯形．
在Rt△ADC中，AD=CD=2，∴AC=$2\sqrt{2}$．
MN=$\frac{1}{2}$AC=2，NP=$\frac{1}{2}DE=1$，MQ=$\frac{1}{2}（BC+DE）=3$．
∴S=（1+3）×$\sqrt{2}×\frac{1}{2}=2\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查利用等積法求體積，考查平面α截四棱錐A-BCDE所得截面面積的求法，考查空間想象能力及思維能力，是難題．