Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．
（1）求C的方程；
（2）若P（x₀，y₀）是第一象限C上異于點(diǎn)D的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)向圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作切線交C于G，H兩點(diǎn)，設(shè)直線OG，OH的斜率分別為k_OG，k_OH，證明：2k_OGk_OH+1=0．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），建立方程，求出a，b，c，即可求C的方程；
（2）設(shè)切線方程為y=kx，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，利用韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\ \begin{array}{l}\frac{8}{a^2}+\frac{8}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\end{array}}\right.$，
解得a²=24，b²=12，
所以C的方程為$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}=1$．----------------（4分）
證明：（2）根據(jù)題意設(shè)切線方程為y=kx，則$\frac{{|{k{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，
整理得$（{x_0}^2-8）{k^2}-2k{x_0}{y_0}+{y_0}^2-8=0$，
因?yàn)閗_OG，k_OH是該方程的兩個(gè)根，
所以${k_{OG}}•{k_{OH}}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，
又因?yàn)?\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$，即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$，
所以${k_{OG}}•{k_{OH}}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$，
即2k_OG•k_OH+1=0．-----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．