Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C₂的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0．
（Ⅰ）將C₂的方程化為普通方程，并說明C₂是哪種曲線．
（Ⅱ）C₁與C₂有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，定點(diǎn)P的極坐標(biāo)（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），求線段AB的長(zhǎng)及定點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由C₂的極坐標(biāo)方程能將C₂的方程化為普通方程，并能說明C₂是哪種曲線．
（Ⅱ）將C₁的參數(shù)方程代入x²+y²-2x-3=0中，得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．由韋達(dá)定理能求出定點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

解答 解：（Ⅰ）C₂的極坐標(biāo)方程ρ²-2ρcosθ-3=0，
化為普通方程：x²+y²-2x-3=0，
即：（x-1）²+y²=4．
故C₂是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓．
（Ⅱ）的極坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)為在直線C₁上，
將C₁的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+y²-2x-3=0中，得：
（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²+（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²-2（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）-3=0，
化簡(jiǎn)得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．
設(shè)兩根分別為t₁，t₂，
由韋達(dá)定理知：$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
所以AB的長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2+12}=\sqrt{14}$，
定點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓、直線方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、定點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之積、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．