Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-2．
（1）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)$h（x）=ln（1+{x^2}）-\frac{1}{2}f（x）-k$有幾個(gè)零點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）由題意可得0＜x＜1時(shí)，g′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$＞0恒成立，即a＞-2x²-2x=-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，求得2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$ 的最大值，可得a的范圍．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以極值，再根據(jù)極值的符號確定函數(shù)的零點(diǎn)符號．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2，函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，
∴0＜x＜1時(shí)，g′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$＞0恒成立，即a＞-2x²-2x=-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
而m（x）=-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$ 在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，∴-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$＜m（0）=0，∴a≥0．
（2）∵函數(shù)$h（x）=ln（1+{x^2}）-\frac{1}{2}f（x）-k$=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（x²-2）-k=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²+1-k  的定義域?yàn)镽，
h′（x）=$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$-x-0=$\frac{x（1{-x}^{2}）}{1{+x}^{2}}$，令h′（x）=0，求得x=0，或x=1 或x=-1，
列表：

x	（-∞，-1 ）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）的符號	+		-		+		-
f（x）	增	極大值 ln2+$\frac{1}{2}$-k	減	極小值 1-k	增	極大值 ln2+$\frac{1}{2}$-k	減

當(dāng)1-k＞0且ln2+$\frac{1}{2}$-k＞0時(shí)，即 k＜1時(shí)，函數(shù)h（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)1-k=0且 ln2+$\frac{1}{2}$-k＞0時(shí)，即k=1時(shí)，函數(shù)h（x）有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)1-k＜0且ln2+$\frac{1}{2}$-k＞0時(shí)，即1＜k＜ln2+$\frac{1}{2}$ 時(shí)，函數(shù)h（x）有4個(gè)零點(diǎn)；
 當(dāng)1-k＜0且ln2+$\frac{1}{2}$-k＜0時(shí)，即 k＞ln2+$\frac{1}{2}$ 時(shí)，函數(shù)h（x）有沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于難題．