Question

11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AM∥平面SCD．
（2）求出平面SAB的一個(gè)法向量和平面SCD的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值．
（3）設(shè)N（x，2x-2，0），則$\overrightarrow{MN}$=（x，2x-3，-1），利用向量法能求出sinθ的得最大值．

解答 證明：（1）∵在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA丄底面ABCD，
AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點(diǎn)，
∴以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{SD}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-1，-2，0），
設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=x-2z=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}=-x-2y=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}$=0，∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{n}$，
∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
解：（2）由題意平面SAB的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，由題意0$＜α＜\frac{π}{2}$，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面SCD與平面SAB所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）設(shè)N（x，2x-2，0），則$\overrightarrow{MN}$=（x，2x-3，-1），
∵平面SAB的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），MN與平面SAB所成的角為θ
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{m}|}$=|$\frac{x}{\sqrt{5{x}^{2}-12x+10}}$|
=$\frac{1}{\sqrt{10×（\frac{1}{x}）^{2}-12×\frac{1}{x}+5}}$
=$\frac{1}{\sqrt{10×（\frac{1}{x}-\frac{3}{5}）^{2}+\frac{7}{5}}}$．
當(dāng)$\frac{1}{x}=\frac{3}{5}$，即x=$\frac{5}{3}$時(shí)，sinθ取得最大值（sinθ）_max=$\frac{\sqrt{35}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面所成的二面角的求法，考查線面角的正弦值的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．