3.如圖,已知正四棱錐V-ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)M,VM是棱錐的高,若AC=6cm,VC=5cm.
(1)求正四棱錐V-ABCD的體積;
(2)求直線VD與底面ABCD所成角的正弦值.

分析 (1)利用勾股定理計(jì)算棱錐的高VM,代入棱錐的體積公式計(jì)算;
(2)∠VDM是直線VD與底面ABCD所成角,在Rt△VDM中計(jì)算sin∠VDM.

解答 解:(1)∵正四棱錐V-ABCD中,ABCD是正方形,
∴MC=1212AC=1212BD=3(cm).
且S正方形ABCD=1212AC×BD=18(cm2).
Rt△VMC中,VM=VC2CM2VC2CM2=4(cm).
∴正四棱錐的體積為V=13SABCDVM=13×18×4=24(cm3).
(2)∵VM⊥平面ABCD,∴∠VDM是直線VD與底面ABCD所成角,
∵VD=VC=5,
在RT△VDM中,sin∠VDM=VMVD=45
所以直線VD與底面ABCD所成角的正弦值為45

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的體積計(jì)算,線面角的計(jì)算,屬于中檔題.

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