Question

【題目】已知無(wú)窮數(shù)列{an}（an∈Z）的前n項(xiàng)和為Sn，記S1，S2，…，Sn中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為bn．

（1）若an=n，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)；

（2）求證：“a1為奇數(shù)，ai（i=2，3，4，…）為偶數(shù)”是“數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件；

（3）若ai=bi，i=1，2，3，…，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．(2)證明見(jiàn)解析；(3) an=0

【解析】

（1）當(dāng)時(shí),,由此能寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)

（2）先證充分性,推導(dǎo)出,從而數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；再證不必要性,當(dāng)數(shù)列中只有是奇數(shù),其余項(xiàng)都是偶數(shù)時(shí),為偶數(shù),（）均為奇數(shù),,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,由此能證明：“是奇數(shù),為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件

（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí),推導(dǎo)出不能為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù),推導(dǎo)出不能是奇數(shù),從而與同奇偶,由此得到

（1）當(dāng)時(shí),可知數(shù)列是等差數(shù)列,則,

∴,,,,

∴,,,,

（2）證明：（充分性）

∵是奇數(shù),為偶數(shù),

∴對(duì)于任意,都是奇數(shù),

∴,

∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

（不必要性）

當(dāng)數(shù)列中只有是奇數(shù),其余項(xiàng)都是偶數(shù)時(shí),為偶數(shù),（）均為奇數(shù)，

∴,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,

∴“是奇數(shù),為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的不必要條件

綜上，“是奇數(shù),為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件

（3）（i）當(dāng)為奇數(shù)時(shí),若為偶數(shù),

若是奇數(shù),則為奇數(shù),∴為偶數(shù),與矛盾；

若為偶數(shù),則為偶數(shù),∴為奇數(shù),與矛盾

∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),不能為偶數(shù)

（ii）當(dāng)為偶數(shù),若為奇數(shù),

若為奇數(shù),則為偶數(shù),∴為偶數(shù),與矛盾,

若為偶數(shù),則為奇數(shù),∴為奇數(shù),與矛盾,

∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí),不能是奇數(shù)

綜上,與同奇偶,

∵為偶數(shù),且,∴,

∵,且,∴,

以此類推,得到