Question

2．證明：若點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則sinA$\overrightarrow{OA}$+sinB$\overrightarrow{OB}$+sinC$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 設(shè)O是O是△ABC的內(nèi)任一點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．并設(shè)A（p，0），B（qcosα，sinα），C（rcosβ，-rsinβ），其中∠AOB=α，∠AOC=β，則∠BOC=2π-（α+β），利用向量的基本運(yùn)算和不共線性質(zhì)，即可求解證明．

解答 解：設(shè)O是△ABC的內(nèi)任一點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．并設(shè)A（p，0），B（qcosα，qsinα），C（rcosβ，-rsinβ），其中∠AOB=α，∠AOC=β，則∠BOC=2π-（α+β），
點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，顯然$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不共線，由平面向量基本定理，可得$\overrightarrow{OA}=x$$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$．
則$\left\{\begin{array}{l}{P=xqcosα+yrcosβ}\\{0=xqsinα-yrsinβ}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{psinβ}{qsin（α+β）}}\\{y=\frac{psinα}{rsin（α+β）}}\end{array}\right.$
可得：$qrsin（α+β）\overrightarrow{OA}=prsinβ\overrightarrow{OB}+pqsinα\overrightarrow{OC}$，
∵S_BOC：S_AOB：s_AOC=a：b：c，
即sinA：sinB：sinC=a：b：c．
∴sinA$\overrightarrow{OA}$+sinB$\overrightarrow{OB}$+sinC$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了△ABC的內(nèi)心的利用和向量的基本運(yùn)算和不共線性質(zhì)．屬于中檔題．