Question

13．如圖，A，B，E是⊙O上的點(diǎn)，過E點(diǎn)的⊙O的切線與直線AB交于點(diǎn)P，∠APE的平分線和AE，BE分別交于點(diǎn)C，D．求證：
（1）DE=CE；
（2）$\frac{CA}{CE}=\frac{PE}{PB}$．

Answer 1

分析 （1）證明∠PEB=∠PAC，∠EPC=∠CPA，可得∠ECD=∠EDC，即可證明結(jié)論；
（2）證明△EPB∽△APE，得$\frac{PE}{PB}$=$\frac{PA}{PE}$，PC是∠APE的平分線，得$\frac{PA}{PE}$=$\frac{CA}{CE}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵PE是⊙O的切線，
∴∠PEB=∠PAC，
∵PC是∠APE的平分線，
∴∠EPC=∠CPA，
∴∠PEB+∠EPC=∠PAC+∠CPA，
∴∠ECD=∠EDC，
∴DE=CE；
（2）∵∠PEB=∠PAC，∠EPB=∠APE，
∴△EPB∽△APE，
∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{PA}{PE}$，
∵PC是∠APE的平分線，
∴$\frac{PA}{PE}$=$\frac{CA}{CE}$，
∴$\frac{CA}{CE}=\frac{PE}{PB}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查角平分線的性質(zhì)，屬于中檔題．