Question

11．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M為線段BF的中點．
（1）求三棱錐M-CDE的體積；
（2）求證：DM⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，以O(shè)為原點，OB為x軸，OC為y軸，過O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐M-CDE的體積．
（2）求出$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{DM}$，由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DM}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DM}$=0，得到AC⊥DM，AE⊥DM，由此能證明DM⊥平面ACE．

解答 解：（1）設(shè)AC∩BD=O，以O(shè)為原點，OB為x軸，OC為y軸，
過O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），E（-1，0，2），M（1，0，1），
$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DM}$=（2，0，1），
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$=0，∴DE⊥DC，
∴S_△DEC=$\frac{1}{2}×DE×DC$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
設(shè)平面DEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
∴M到平面DEC的距離h=$\frac{|\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐M-CDE的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDE}×h$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
證明：（2）A（0，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DM}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DM}$=-2+2=0，
∴AC⊥DM，AE⊥DM，
∵AC∩AE=A，∴DM⊥平面ACE．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．