Question

6．如圖3，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分別為AB，VA的中點．
（Ⅰ）求證：VB∥平面 M OC；
（Ⅱ）求證：平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）求三棱錐A-MOC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的中位線得出OM∥VB，利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC；
（Ⅱ）證明OC⊥平面VAB，即可證明平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）利用等體積法求三棱錐A-MOC的體積即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點，
∴OM∥VB，
∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（Ⅱ）證明：∵AC=BC，O為AB的中點，
∴OC⊥AB，
又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，OC=1，
∴等邊三角形VAB的邊長為2，S_△VAB=$\sqrt{3}$，
∵O，M分別為AB，VA的中點．
∴${S}_{△AMO}=\frac{1}{4}{S}_{△VAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又∵OC⊥平面VAB，
∴三棱錐${V}_{A-MOC}={V}_{C-MOA}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×1=\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計算，正確運用線面平行、平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵，是中檔題．