Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+3|
（1）求不等式f（x）＜3的解集；
（2）若不等式f（x）＜3+a對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為|x-2|-|x+3|＜a+3，根據(jù)絕對值的性質(zhì)得到a+3＞5，解出即可．

解答 解：（1）由|x-2|-|x+3|＜3，當(dāng)x≤-3時，2-x+x+3＜3，解集為空集；
當(dāng)-3＜x＜2時，2-x-（x+3）＜3，解得：-2＜x＜2；
當(dāng)x≥2時，x-2-（x+3）＜3，解得：x≥2．
綜上所述，所求不等式解集為{x|x＞-2}．
（2）不等式f（x）＜3+a等價于|x-2|-|x+3|＜a+3，
∵|x-2|-|x+3|≤|x-2-（x+3）|=5（當(dāng)且僅當(dāng)x≤-3時取等號），
∴a+3＞5，即a＞2．故實數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質(zhì)以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．