Question

10．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上任意一點(diǎn)M到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和是4，橢圓的焦距是2，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，再結(jié)合橢圓的定義可得2a=4，2c=2，即可得a、c的值，計(jì)算可得b的值，將a、b的值代入橢圓方程可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其焦點(diǎn)在x軸上，
又由其上任意一點(diǎn)M到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和是4，橢圓的焦距是2，
則有2a=4，2c=2；
即a=2，c=1，
則有b²=a²-c²=3；
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握橢圓的定義．