Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，$BA\user1{∥}$平面PCD，平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，△APD為等腰直角三角形，$PA=PD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}CD=\sqrt{2}$．
（1）證明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若三棱錐B-PAD的體積為$\frac{1}{3}$，求平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）依題意得CD⊥AP，AP⊥PD，即AP⊥平面PCD，可得平面PAB⊥平面PCD
（2）$\left\{\begin{array}{l}{BA∥面PCD}\\{面ABCD∩面PCD=CD}\end{array}\right.$，⇒AB∥CD
由（1）知AB⊥面PAD，由${V_{B-PAD}}=\frac{1}{3}AB•\frac{1}{2}PA•PD$=$\frac{1}{3}⇒AB=1$，
取AD中點O，以過點O且平行于AB的直線為x軸建系，利用向量求解．

解答 解：（1）證明：依題：$\left\{\begin{array}{l}CD⊥AD\\ 面PAD⊥面ABCD\end{array}\right.$⇒CD⊥面PAD⇒CD⊥AP，
又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，
又AP?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{BA∥面PCD}\\{面ABCD∩面PCD=CD}\end{array}\right.$⇒AB∥CD
由（1）知AB⊥面PAD∴${V_{B-PAD}}=\frac{1}{3}AB•\frac{1}{2}PA•PD$=$\frac{1}{3}⇒AB=1$，
取AD中點O，PO⊥AD，平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD，
以過點O且平行于AB的直線為x軸，如圖建系，各點坐標如圖．
由（1）易知平面PAD的一法向量為$\overrightarrow m=（{1，0，0}）$，
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$
.$\overrightarrow{PB}=（{1，1，-1}）$，$\overrightarrow{PC}=（{2，-1，-1}）$.$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ 2x-y-z=0\end{array}\right.$，
取x=2，$\overrightarrow n=（{2，1，3}）$.$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞$=$\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{14}}}{7}$，
故所求二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{14}}}{7}$．

點評 本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求解二面角，屬于中檔題．