Question

20．雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線x=a與雙曲線M漸近線交于點P，若sin∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)漸近線方程求出P點坐標，根據(jù)sin∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$列方程得出a，b，c之間的關(guān)系即可求出離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線右頂點為A，M在第一象限內(nèi)，
雙曲線M的漸近線方程為y=$\frac{a}x$，
∴P（a，b），又F₁（-c，0），A（a，0），
∴PA=b，F(xiàn)₁A=a+c，
∵sin∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，∴tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{a+c}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（a+c），
又b²=c²-a²，∴$\frac{1}{8}$（a+c）²=c²-a²，
即9a²-7c²+2ac=0，
∵e=$\frac{c}{a}$，∴9-7e²+2e=0，解得e=-1（舍）或e=$\frac{9}{7}$．
故答案為$\frac{9}{7}$．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，離心率計算，屬于中檔題．