Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，且．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在正方形中，.

因?yàn)?sub>，，

所以 平面．                       

因?yàn)?平面，

所以 ．                                  

同理，．

因?yàn)?，

      所以 平面．                         

（Ⅱ）解：連接，由（Ⅰ）知平面．

因?yàn)?平面，

所以 ．                                  

因?yàn)?_{，，}

所以 ．                                     

分別以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

      由題意可得：，，，．

      所以 ，，，．                         

      設(shè)平面的一個(gè)法向量，

      則 即 令，得.

所以 ．

      同理可求：平面的一個(gè)法向量．      

      所以 ．

      所以 二面角的余弦值為．             

（Ⅲ）存在．理由如下：

      若棱上存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，．

      所以 ．       因?yàn)?平面的一個(gè)法向量為．

      所以 ．

      令 解得：.

     經(jīng)檢驗(yàn)．                          

     所以 棱上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角是，此時(shí)的長(zhǎng)為．