【題目】已知函數(shù) (其中 是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若 ,當 時,試比較 與2的大;
(2)若函數(shù) 有兩個極值點 ,求 的取值范圍,并證明:

【答案】
(1)解:當 時, ,則 ,令
由于 ,于是 為增函數(shù),所以 ,即 恒成立,
從而 為增函數(shù),故
(2)解:函數(shù) 有兩個極值點 ,則 的兩個根,即方程 有兩個根,
,則 ,
時, ,函數(shù) 單調遞增且
時, ,函數(shù) 單調遞增且 ;
時, ,函數(shù) 單調遞增且 ;
要使方程 有兩個根,只需 ,如圖所示

故實數(shù) 的取值范圍是
又由上可知函數(shù) 的兩個極值點 滿足 ,由 .
由于 ,故 ,所以
【解析】(1)根據(jù)導函數(shù)即可判斷f(x)在上的單調性,由單調性即可比較f(x)與2的大小,(2)先求導數(shù) f ' ( x ),由題意知x 1 , x 2 , 是方程 f ' ( x )=0的兩個根,令,利用導數(shù)得到函數(shù)的單調區(qū)間,繼而可得到k的取值范圍,由 f ' ( x 1 ) = 0 得 k = ,又由f(x1)=-(x1-1)2+1,x1∈(0,1),即可得到0<f(x1)<1.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減,以及對函數(shù)的極值的理解,了解極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.

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;
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(Ⅲ)若從生產(chǎn)線中任取一零件,測量尺寸為 ,根據(jù) 原則判斷該生產(chǎn)線是否正常?
附: ;若 ,則 , , .

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A.b<c<a
B.c<b<a
C.a<c<b
D.a<b<c

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①求 最大整數(shù)值;
②證明:

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B.4
C.3
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