Question

3．已知函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若a=2，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥m恒成立，求m的取值范圍．
【提示：第（1）問利用定義；第（2）問先確定f（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求f（x）的最值】

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若a=2，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥m恒成立，則m不大于函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=（a^-x-a^x）=-（a^x-a^-x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）若a=2，則f（x）=2^x-2^-x，
則f′（x）=ln2（2^x+2^-x）＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
若x∈[-1，1]，則當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-$\frac{3}{2}$，
∵當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥m恒成立，
∴m≤-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．