Question

10．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{ax+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=3x+y，若a=1，則z的最小值為2；若z的最大值為5，則實(shí)數(shù)a=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 首先把a(bǔ)=1代入約束條件，作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得z的最小值；再由題意可得a＞0，作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可得z的最大值，由此求得a值．

解答 解：若a=1，則不等式組為$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，畫出可行域如圖：

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（1，-1）．
化目標(biāo)函數(shù)z=3x+y為y=-3x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=-3x+z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為2；
要使約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{ax+y≤4}\\{y≥-1}\end{array}\right.$表示的可行域存在，且目標(biāo)函數(shù)z=3x+y有最大值，則a＞0．
作出可行域如圖：

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{ax+y=4}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{5}{a}$，-1），
化目標(biāo)函數(shù)z=3x+y為y=-3x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=-3x+z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{15}{a}-1=5$，得a=$\frac{5}{2}$．
故答案為：2；$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．