Question

9．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左，右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C右支上的兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，且$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{17}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|F₂Q|=m，根據(jù)雙曲線的定義分別求出|PF₁|=2m+2a，|QF₁|=m+2a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)建立方程關(guān)系求出m=$\frac{2}{3}$a，然后再次利用直角三角形的關(guān)系建立a，c的方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且|PF₂|=2|F₂Q|，
∴設(shè)|F₂Q|=m，則|PF₂|=2|F₂Q|=2m，
|PF₁|=|PF₂|+2a=2m+2a，
|QF₁|=|QF₂|+2a=m+2a，
∵PQ⊥F₁Q，
∴|PF₁|²=|PQ|²+|QF₁|²，
即（2m+2a）²=（3m）²+（m+2a）²，
整理得4m²+8ma+4a²=9m²+m²+8ma+4a²，
即4am=6m²，
則m=$\frac{2}{3}$a，
則|QF₁|=$\frac{2}{3}$a+2a=$\frac{8a}{3}$，|F₂Q|=$\frac{2}{3}$a，
由|F₁F₂|²=|F₁Q|²+|QF₂|²，
即4c²=（$\frac{8a}{3}$）²+（$\frac{2}{3}$a）²=$\frac{68{a}^{2}}{9}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直角三角形的定義結(jié)合雙曲線的定義建立方程公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．