Question

20．已知函數$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}$（x＞0，e為自然對數的底數），f'（x）是f（x）的導函數．
（Ⅰ）當a=2時，求證f（x）＞1；
（Ⅱ）是否存在正整數a，使得f'（x）≥x²lnx對一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據函數的單調性；
（Ⅱ）求出函數的導數，得到a≤e，問題轉化為證明當a=2時，不等式恒成立，設$g（x）=\frac{e^x}{x^2}-\frac{2}{x}-lnx$，根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：當a=2時，f（x）=e^x-x²，則f'（x）=e^x-2x，
令${f_1}（x）=f'（x）={e^x}-2x$，則${f'_1}（x）={e^x}-2$，
令f'₁（x）=0，得x=ln2，故f'（x）在x=ln2時取得最小值，
∵f'（ln2）=2-2ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴f（x）＞f（0）=1；
（Ⅱ）f'（x）=e^x-ax，
由f'（x）≥x²lnx，得e^x-ax≥x²lnx對一切x＞0恒成立，
當x=1時，可得a≤e，所以若存在，則正整數a的值只能取1，2．
下面證明當a=2時，不等式恒成立，
設$g（x）=\frac{e^x}{x^2}-\frac{2}{x}-lnx$，則$g'（x）=\frac{{（{x-2}）{e^x}}}{x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{（{x-2}）（{{e^x}-x}）}}{x^3}$，
由（Ⅰ）e^x＞x²+1≥2x＞x，∴e^x-x＞0（x＞0），
∴當0＜x＜2時，g'（x）＜0；當x＞2時，g'（x）＞0，
即g（x）在（0，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數，
∴$g（x）≥g（2）=\frac{1}{4}（{{e^2}-4-4ln2}）＞\frac{1}{4}（{{{2.7}^2}-4-4ln2}）＞\frac{1}{4}（{3-ln16}）＞0$，
∴當a=2時，不等式恒成立，
所以a的最大值是2．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．