Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N^*），其中實(shí)數(shù)c≠0．
（1）求a₂，a₃，并由此歸納出{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）代值計(jì)算即可，并猜測(cè)a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）由a₁=1，a₂=ca₁+c²3=（2²-1）c²+c
a₃=ca₂+c³•5=（3²-1）c³+c²，
猜測(cè)a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，
當(dāng)n=1是，等式成立，
假設(shè)當(dāng)n=k，等式成立即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)a_k+1=ca_k+c^k+1（2k+1）=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，
綜上a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，對(duì)任意n∈N都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和實(shí)際的運(yùn)算能力